Urodzony w styczniu 1941 roku Żyszkowski karierę sportową rozpoczynał w latach 60. jako kierowca. W 1970 r. zdobył tytuł mistrza Polski za kierownicą Fiata 125 p, a trzy lata później triumfował w mistrzostwach kraju w wyścigach samochodowych.
Po największe sukcesy sięgnął jednak jako pilot. W Rajdzie Monte Carlo zadebiutował w tej roli w 1971 roku u boku Adama Smorawińskiego. Był pilotem najlepszych polskich kierowców – Macieja Stawowiaka, Sobiesława Zasady, Roberta Muchy, Andrzeja Jaroszewicza.
Od 1983 roku startował z Marianem Bublewiczem, początkowo w fabrycznym zespole FSO. Wspólnie zdobyli siedem tytułów mistrza Polski. Żyszkowski zasiadał na prawym fotelu podczas Zimowego Rajdu Dolnośląskiego w 1993 roku. Podczas zawodów doszło do tragicznego wypadku, w którym poniósł śmierć Marian Bublewicz.
Był to dla doświadczonego pilota ostatni rajd tej rangi, w kolejnych latach pojawiał się tylko gościnnie na mniejszych imprezach. Udzielał się jako organizator, pełniąc m.in. przez wiele lat funkcję dyrektora stołecznego Rajdu Barbórka.
Ryszard Żyszkowski wziął udział w 254 rajdach, w tym 116 zagranicznych, odnosząc 50 zwycięstw w klasyfikacji generalnej. Był 20-krotnym mistrzem Polski w rajdach i wyścigach samochodowych.
