Przed laty Moelgg był czołowym alpejczykiem specjalizującym się w konkurencjach technicznych. W sezonie 2007/08 zdobył małą Kryształową Kulę za zwycięstwo w klasyfikacji slalomu. Jest srebrnym medalistą mistrzostw świata w slalomie (2007) oraz brązowym w slalomie (2011) i slalomie gigancie (2013).
20-krotnie stawał na podium zawodów PŚ (trzy razy wygrał), ale po raz ostatni w styczniu 2017 roku. Znaną alpejką była jego o rok młodsza siostra Manuela, która już wcześniej zakończyła karierę.
