Jest wychowankiem NK Travnik, później grał w FK Sarajewo, a ostatnio przez trzy sezony w Ferencvarosie Budapeszt.
W latach 2017-2020 był piłkarzem Korony Kielce i w inauguracyjnej kolejce ekstraklasy w sezonie 2019/20 zdobył dla niej zwycięską bramkę w meczu z... Rakowem (Korona wygrała w Bełchatowie 1:0). W barwach zespołu z Kielc rozegrał łącznie 100 spotkań.
Kovacevic zdobył mistrzostwo Bośni i Hercegowiny
Z FK Sarajewo zdobył mistrzostwo Bośni i Hercegowiny oraz krajowy puchar, a z Ferencvarosem był trzykrotnie mistrzem Węgier, raz wygrał krajowe rozgrywki pucharowe, a także uczestniczył w rozgrywkach o europejskie puchary (również w Lidze Mistrzów).
Adnan Kovacevic nie jest spokrewniony z pochodzącym również z Bośni i Hercegowiny bramkarzem Rakowa Vladanem Kovacviciem. Nowy obrońca "Czerwono-Niebieskich" związał się z drużyną mistrzów Polski dwuletnim kontraktem (do 30 czerwca 2025 roku), z opcją przedłużenia o kolejny rok.
