Żukowski przygodę z piłką nożną zaczynał w Pogoni Lębork, z której przeniósł się do Lechii Gdańsk. Po rundzie jesiennej sezonu 2021/22 został sprzedany do Rangers FC, ale w szkockiej ekstraklasie nie zadebiutował. Rok temu został wypożyczony do Lecha Poznań, w barwach którego rozegrał trzy mecze w ekstraklasie.
Jesteśmy zadowoleni, że udało nam się pozyskać młodego, polskiego zawodnika, który ma za sobą doświadczenie w tak dużym klubie jak Glasgow Rangers. Wiemy, że Mateusz to uniwersalny zawodnik, który może grać na skrzydle i boku obrony, dając jakość po obu stronach boiska. Jest głodny gry, ambitny, dobrze zna się z trenerem Magierą i wierzymy, że w Śląsku uwolni cały swój potencjał – skomentował transfer na oficjalnej internetowej stronie Śląska dyrektor sportowy klubu David Balda.
Żukowski podpisał z Śląskiem roczny kontrakt z opcją przedłużenia o kolejne dwa lata.
Równocześnie klub z Wrocławia poinformował, że Portugalczyk Diogo Verdasca oraz Hiszpan Victor Garcia zostali przesunięci do zespołu rezerw i otrzymali zgodę na poszukanie nowych klubów. Już wcześniej do drugiej drużyny trafił Hiszpan Caye Quintana.